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余弦乐释余怨

来源:辽宁师专学报(自然科学版) 【在线投稿】 栏目:期刊导读 时间:2021-05-09 05:01
作者:网站采编
关键词:
摘要:话说有一天,余弦发起了牢骚: 我是余弦,我不满,很是不满. 本来三角函数家族里,我们正弦、余弦和正切是一脉同胞——都源自角α终边上一点的坐标(x,y)的比值其中地位相同,各有

话说有一天,余弦发起了牢骚:

我是余弦,我不满,很是不满. 本来三角函数家族里,我们正弦、余弦和正切是一脉同胞——都源自角α终边上一点的坐标(x,y)的比值其中地位相同,各有特色,互补共进,各司其职. 然而在一个数学老师手里,我却完全被埋没了,这个数学老师专宠正弦,将我余弦抛诸脑后,还告诫学生,只要掌握了正弦和正弦函数的性质,余弦都可以转化为正弦来处理. 他的根据就是那个可恨的诱导公式:用图象变换来解释就是:将它正弦函数的图象沿坐标轴向左平移个单位,就得到我余弦函数的图象. 在这个公式的掩盖下,我余弦没有出头之日,只能躲在正弦的阴影中独处暗泣. 你说我能不愤怒吗?既生它正弦,又何必生我余弦?

首先,从性质上讲:

性质正弦函数y=sinx(向左平移π2个单位)→余弦函数y=cosx单调增区间2kπ-π2,2kπ+π2 k∈Z 2kπ-π,2kπ k∈Z 单调减区间2kπ+π2,2kπ+3π2 k∈Z 2kπ,2kπ+π k∈Z 对称轴 x=kπ+π2k∈Z x=kπk∈Z 对称中心kπ,0 k∈Z kπ-π2,0 k∈Z

记住正弦函数的这些性质,求解余弦函数的性质时,只要将对应的区间、直线或者点向左边平移即可.

其次是化简求函数解析式时,全部化为正弦的形式.

例1已知函数

(I)求f(x)的最小正周期;

(II)求证:当时,

解析

至此,学生都遵照那个“嫌弃”我余弦的数学老师的教导,化为正弦,得到再来解决下面的问题. 我真的生气了,难道化为我余弦来解答就麻烦些?于是

(1)最小正周期为

(2)当时,于是

所以

这是2017年北京高考文试题,也很简单,很快捷吧!

例2已知函数

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.

解析

至此,那个“抛弃”我的数学老师教出来的学生都变成

我就不信利用我不行!

(2)最小正周期为

它的单调递增区间即的单调递减区间,即即

故f(x)的单调递增区间为

这是2017年浙江高考试题,用我余弦来解答也一样方便快捷吧.

最可恨的是,连我和正弦的“二弦组合”形式,也变成只含有它正弦的形式,且其中的角还要由正切来确定,似乎与我余弦没有一点儿的关系.

其中φ由确定.

这个结论许多资料上称为“辅助角公式”,也是许多老师和同学津津乐道的一个最常用的三角公式,然而,我发现了它的一个不足.

比如但按这个公式,φ由确定,则tanφ=1,取两个或从而得到两个结果,或显然只有前者正确.

所以这个公式中的φ不能只是由确定,而必须依靠我余弦:

其中φ满足且

于是我将自己的怨恨和这个发现写信给这个老师,没有几天就收到了他的回信:

亲爱的余弦(函数):

首先感谢你指出的这个错误,确实过去我们一直使用这个结论,没有注意到它是不严密的. 佩服你的钻研和思考精神,希望你一如继往,努力完善自己,多为社会做出贡献,也为学生的学习做出表率.

同时更重要的是要向你说声对不起,不是我“嫌弃”你,也不是我“抛弃”你. 而是因为学生的理解水平有限,让他们死记硬背你,还不如类比联想记忆你——紧扣你同“正弦”的形同特点——只需平移关系,这样学生对你的印象不是削弱了,反而更加强了,感觉你更生动,更形象,更有活力了. 其实数学的学习过程也是一个类比联想的过程,抓住知识点或数学概念之间的关联,就纲举目张,一通百通,举一反三. 在三角函数大家庭里,你们三兄弟,是相互联系的,血肉相连的,这一点从你们的定义和同角三角函数之间的关系也可以看出来,已知你们中的一个就可以求出另外一个,特别是你与正弦,更是唇齿相依的一衣带水的关系——如果唇亡,则一定齿寒,在许多实际问题的解答中也是需要你们相互配合,紧密相扣的.

图1

例3如图1,在半径为1,圆心角为的扇形的弧上任取一点P,作扇形的内接矩形PNMP,使点Q在OA上,点N,M在OB上,设矩形PNMQ的面积为y,按下列要求写出函数的关系式:

(1)设PN=x,将y表示成x的函数关系式;

(2)设∠POB,将y表示成θ的函数关系式;

文章来源:《辽宁师专学报(自然科学版)》 网址: http://www.lnszxb.cn/qikandaodu/2021/0509/1290.html



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